1.1

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" ><B>Álgebra lineal</B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="2" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" ><B>   </B></FONT><B> |     </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Á l g e b r a l i n e a l"><U><B>Página principa</B></U></A><B>l  |  </B><A HREF="id17.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id65.htm" TARGET="_top" TITLE="David Poole"><U><B> Poole</B></U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <A NAME="problemas_1_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Problemas </B><B>1.1</B></div> <div> <B>Geometría y álgebra de vectores</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:728px;height:90px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="5388515922"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" ><IMG SRC="1f3bbad0.gif" border=0 width="187" height="173" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="RIGHT" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT><B>Definición de </B><B>vector </B><B>:</B><B> </B></div> <div> En el plano cartesiano, un <B>vector </B>es un segmento de recta dirgido que corresponde a un desplazamiento desde un punto <I>A</I>, punto inicial u origen, hasta un punto <I>B</I>, punto terminal o punta. (Figura 1).</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c002a011800000000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Un vector se denota mediante una letra minúscula en negrita, vector <B>a</B>, <B>b</B>, <B>c</B>, etc.</div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c002a011866993300.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">También se define un vector como un par ordenado de números reales. </div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Symb075c002a011800000000.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">El conjunto de los puntos del plano corresponden al conjunto de todos los vectores cuyos puntos iniciales están en el origen de coordenadas <I>O</I>.  A cada punto <I>A</I>, le corresponde el vector  <IMG SRC="1fc37180.gif" border=0 width="55" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">; a cada vector <B>a </B>con origen en <I>O</I>, le corresponde su punta en <I>A (</I>vectores de posición). <IMG SRC="200998d0.gif" border=0 width="153" height="141" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="RIGHT" HSPACE="0" VSPACE="0">Es natural representar dichos vectores mediante coordenadas, en este caso <B>las coordenadas son las componentes del vector</B>.</div> <div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c002a011866993300.gif" HEIGHT="19" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Vector en </B><B>posición estandar</B><B> :</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" ><B> </B> </FONT></div> <div> Se dice que un vector con su punto inicial en el origen de coordenadas O(0, 0) está  en <FONT SIZE="4" COLOR="#339966" FACE="Bell MT" >posición estandar</FONT>. (Figura 2).</div> <bR> <bR> <bR> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> Enunciados</div> <bR> <div> <IMG SRC="1e6f1510.gif" border=0 width="497" height="81" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Bell MT" ><A HREF="#1" TITLE="1.1"><U><IMG SRC="12718180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></FONT></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Bell MT" ><B>2</B><B>.</B></FONT><B>  </B>Dibuje los vectores del ejercicio <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Bell MT" >1</FONT> con sus orígenes en el punto (1, -3). <FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Bell MT" ><A HREF="#2" TITLE="1.1"><U><IMG SRC="12718180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></FONT></div> <div> <IMG SRC="21381380.gif" border=0 width="641" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#3" TITLE="1.1"><U><IMG SRC="12718180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <IMG SRC="2039d570.gif" border=0 width="925" height="87" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#5" TITLE="1.1"><U><IMG SRC="12718180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Bell MT" ><B>6.</B></FONT> Un paseante camina 4 km al norte y luego 5 km al noreste. Dibuje los vectores desplazamiento que representen el viaje del caminante y dibuje un vector que represente el desplazamiento neto del caminante desde el punto de partida. <FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Bell MT" ><A HREF="#6" TITLE="1.1"><U><IMG SRC="12718180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <A HREF="#problemas_1_1" TITLE="1.1"><U>Arriba</U></A></div> <div> Soluciones</div> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>1</div> <div> <IMG SRC="1f6ef510.gif" border=0 width="495" height="81" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Solución - <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" >Juan Beltrán</FONT>:</div> <div> El punto inicial de un vector en posición estandar está en el origen de coordenadas O (0, 0). En los vectores columna dados, las componentes del vector son las coordenadas del punto terminal de cada vector. Para representarlos en el plano <I><B>xy</B></I>, se marca el punto final y se traza una flecha desde el origen hasta el punto. Los vectores los he trazado con el programa <A HREF="http://www.geogebra.org/cms/es/" TARGET="_top" TITLE="http://www.geogebra.org/cms/es/"><U>Geogebra</U></A> :</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="1f946340.gif" border=0 width="326" height="308" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A HREF="#problemas_1_1" TITLE="1.1"><U>Arriba</U></A></div> <bR> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>2</div> <div> <B>2</B><B>.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" ><B> </B>Dibuje los vectores del ejercicio </FONT>1<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" > con sus orígenes en el punto (1, -3).</FONT></div> <div> Solución - <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" >Juan Beltrán</FONT>:</div> <div> <IMG SRC="201b0df0.gif" border=0 width="944" height="479" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Los vectores los he trazado con el pograma <A HREF="http://www.geogebra.org/cms/es/" TARGET="_top" TITLE="http://www.geogebra.org/cms/es/"><U>Geogebra</U></A> :</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2029e670.gif" border=0 width="414" height="359" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>3</div> <div> <IMG SRC="21481380.gif" border=0 width="641" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Solución - <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" >Juan Beltrán</FONT>:</div> <div> El punto inicial de un vector en posición estandar está en el origen de coordenadas O (0, 0, 0). En los vectores renglón dados, las componentes del vector son las coordenadas del punto terminal de cada vector. Para representarlos en el plano <I><B>xyz</B></I>, se marca el punto final y se traza una flecha desde el origen hasta el punto. Los vectores los he trazado con el programa <A HREF="http://www.geogebra.org/cms/es/" TARGET="_top" TITLE="http://www.geogebra.org/cms/es/"><U>Geogebra</U></A>, usando un apple publicado en <A HREF="id70.htm" TARGET="_top" TITLE="Vectores en 3d"><U>GeoGebraTube</U></A> por por <A HREF="http://www.geogebratube.org/user/profile/id/10918" TARGET="_top" TITLE="http://www.geogebratube.org/user/profile"><U>uStas</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2ae427e0.gif" border=0 width="322" height="382" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <IMG SRC="2b264580.gif" border=0 width="356" height="344" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="2b4945e0.gif" border=0 width="404" height="350" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  <IMG SRC="2b585770.gif" border=0 width="389" height="375" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <bR> <div>  <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>5</div> <div> <IMG SRC="20ca47c0.gif" border=0 width="932" height="892" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <B>P</B>ara dibujar los vectores, a partir de los puntos iniciales y terminales dados, se ubican dichos puntos en el plano <I>xy</I> y se traza una flecha desde el punto inicial hacia el punto terminal. Los vectores equivalentes en su posición estandar se dibujan trazando la flecha desde el origen de coordenadas hacia el punto terminal cuyas coordenadas fueron previamente calculadas.</div> <div> Los vectores los he trazado con el pograma <A HREF="http://www.geogebra.org/cms/es/" TARGET="_top" TITLE="http://www.geogebra.org/cms/es/"><U>Geogebra</U></A> :</div> <div> <IMG SRC="206dfba0.gif" border=0 width="991" height="186" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div>  <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>6</div> <div> <B>6.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" > Un paseante camina 4 km al norte y luego 5 km al noreste. Dibuje los vectores desplazamiento que representen el viaje del caminante y dibuje un vector que represente el desplazamiento neto del caminante desde el punto de partida. </FONT></div> <div> Solución - <FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" >Juan Beltrán</FONT>:</div> <div> Se toma el punto de partida en el origen de coordenas del plano <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><I>xy</I></FONT>. Al caminar 4 km hacia el norte, el caminante se encontrará en el punto de coordenadas (0, 4): el primer vector de desplazamiento tiene como punto inicial O(0, 0) y punto final A(0, 4). Ahora, a <IMG SRC="20dbb230.gif" border=0 width="187" height="291" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="RIGHT" HSPACE="0" VSPACE="0">partir del punto A se desplaza 5 km hacia el noroeste, hasta el punto B: el segundo vector de desplazamiento tiene como punto inicial A(0, 4) y punto final B(<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><I>x</I></FONT><FONT SIZE="2" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >1</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >, <I>y</I></FONT><FONT SIZE="2" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >1</FONT>). Para hallar las coordenadas numéricas de B es necesario conocer el deplazamiento horizontal y vertical de A a B. Como el paseante camina hacia el noroeste, los desplazamientos horizontales y verticales son iguales y positivos. Se tiene entonces un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 5 y catetos iguales, digamos a <I>b</I>, de acuerdo con el teorema de Pitágoras se tiene que: </div> <div> <IMG SRC="207a32c0.gif" border=0 width="163" height="44" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Así que las coordenadas de <I>B</I> son:</div> <div> <IMG SRC="208002c0.gif" border=0 width="256" height="44" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> El vector que representa el desplazamiento neto del caminante es aquel con punto inicial O(0, 0) y punto final B (cuyas coordenadas están dadas en (<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Bell MT" >1</FONT>)).</div> <bR> <bR> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>|  </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Á l g e b r a l i n e a l"><U><B>Página principal</B></U></A><B>  |  </B><A HREF="id17.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U><B>Contenido</B></U></A><B>   |   </B><A HREF="id18.htm" TARGET="_top" TITLE="email"><U><B>e-mail</B></U></A><B>   |   </B><A HREF="id19.htm" TARGET="_top" TITLE="Enlaces"><U><B>Enlaces</B></U></A><B>  |</B></div> <bR> <div> <A HREF="http://twitter.com/Calculo21" TARGET="_top" TITLE="http://twitter.com/Calculo21"><U><IMG SRC="0f028280.jpg" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="http://www.facebook.com/juan.beltran.58511" TARGET="_top" TITLE="http://www.facebook.com/juan.beltran.585"><U><IMG SRC="0f128280.gif" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="http://www.youtube.com/user/MatematicaAplicadas" TARGET="_top" TITLE="http://www.youtube.com/user/MatematicaAp"><U><IMG SRC="0f228280.jpg" border=0 width="40" height="40" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div>  <a href="http://twitter.com/Calculo21" class="twitter-follow-button" data-button="grey" data-text-color="#FFFFFF" data-link-color="#00AEFF" data-show-count="false" data-lang="es">Follow @Calculo21</a> <script src="http://platform.twitter.com/widgets.js" type="text/javascript"></script>  </div> <bR> </td> </tr></table></body>